DoYouSpeak

Examen de Bacalaureat 2022 - Matematică

Arătați că \(8 - 6\sqrt{6} + 6(\sqrt{6} - 1) = 2\).

Începe să rezolvi
Se consideră funcția \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = 3x + m\), unde \(m\) este număr real. Determinați numărul real \(m\) pentru care \((f \circ f)(0) = 4\).

Începe să rezolvi
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(3 \cdot 2^x + 4^x = 4\).

Începe să rezolvi
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra zecilor divizor al numărului 6.

Începe să rezolvi
În reperul cartezian \(xOy\) se consideră dreapta \(d\) de ecuație \(y = 3x - 2\) și punctul \(A(a, a)\), unde \(a\) este număr real. Determinați numărul real \(a\), știind că punctul \(A\) aparține dreptei \(d\).

Începe să rezolvi
Se consideră triunghiul isoscel \(ABC\), cu \(AB = 10\) și \(\cos A = 0\). Arătați că aria triunghiului \(ABC\) este egală cu 50.

Începe să rezolvi

Se consideră matricea \(A(x) = \begin{pmatrix} 1 & -x & x^2 \\ 0 & 1 & -2x \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\), unde \(x\) este număr real.
1. Arătați că \(\det(A(1)) = 1\).
2. Arătați că \(A(x) \cdot A(y) = A(x+y)\), pentru orice numere reale \(x\) și \(y\).
3. Determinați numărul natural \(n\) pentru care \(A(n) \cdot A(n+1) \cdot A(n+2) \cdot A(n+3) = A(2n^2)\).
Pe mulțimea \(M = [0, \infty)\) se definește legea de compoziție \(x * y = \frac{2x}{y+2} + \frac{2y}{x+2}\).
1. Arătați că \(1 * 0 = 1\).
2. Arătați că \(e = 0\) este elementul neutru al legii de compoziție „\(*\)”.
3. Determinați \(x \in M\), \(x\) nenul, pentru care \(x * \frac{4}{x} = x\).

Se consideră funcția \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = 2 + \frac{x}{e^x - x}\).
1. Arătați că \(f'(x) = \frac{e^x (1-x)}{(e^x - x)^2}, x \in \mathbb{R}\).
2. Determinați intervalele de monotonie a funcției \(f\).
3. Demonstrati că, pentru orice \(m \in (1, 2]\), ecuația \(f(x) = m\) are soluție unică.
Se consideră funcția \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = 3 - x + \sqrt{x^2 + 9}\).
1. Arătați că \(\int_{1}^{5} \left(f(x) - \sqrt{x^2 + 9}\right) dx = 0\).
2. Arătați că \(\int_{0}^{4} \frac{x}{f(x) + x - 3} dx = 2\).
3. Pentru fiecare număr natural nenul \(n\) se consideră numărul \(I_n = \int_{0}^{1} \frac{x^n}{f(x)} dx\). Demonstrați că \(\lim_{n \to \infty} I_n = 0\).